Complete Elliptic Integral of the Third Kind

释义 Definition

第三类完全椭圆积分：椭圆积分的一种“完全形式”，通常记作 **Π(n, k)**（或 Π(n | m)）。它是第三类椭圆积分在积分上限取到使振幅达到 π/2（即“完整四分之一周期”）时的取值，常出现在物理、工程与几何中的周期问题、势函数、边值问题等计算里。（注：第三类椭圆积分还有“不完全”形式。）

发音 Pronunciation (IPA)

/kəmˈpliːt ɪˈlɪptɪk ˈɪntɪɡrəl əv ðə θɜːrd kaɪnd/

例句 Examples

The complete elliptic integral of the third kind is often written as Π(n, k).
第三类完全椭圆积分常写作 Π(n, k)。

In solving the boundary-value problem, the solution can be expressed in terms of complete elliptic integrals, including the complete elliptic integral of the third kind.
在求解该边值问题时，解可以用完全椭圆积分来表示，其中包括第三类完全椭圆积分。

词源 Etymology

elliptic integral（椭圆积分）这一名称源于早期研究椭圆弧长等几何问题时出现的积分形式；complete（完全）指把不完全椭圆积分的上限取到标准极值（常对应振幅 π/2），得到仅依赖参数的常用“完全形式”。third kind（第三类）来自经典（Legendre）分类：第一类与第二类对应不同的被积结构，而第三类在被积函数中额外引入形如 (1 - n·sin²θ) 的因子（常导致不同的奇性与参数依赖），因此被单独归类为“第三类”。

相关词 Related Words

• Elliptic Integral
• Incomplete Elliptic Integral
• Complete Elliptic Integral
• First Kind
• Second Kind
• Legendre Form
• Modulus
• Parameter
• Jacobi Elliptic Functions
• Carlson Symmetric Forms
• Hypergeometric Function

文献与作品 Literary / Notable Works

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）：在椭圆积分章节中系统给出 Π(n, k) 等定义、性质与表格。
• Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists（Byrd & Friedman）：大量工程应用情境中使用第三类完全椭圆积分的公式与变换。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）：在复分析与特殊函数框架下讨论椭圆积分与相关函数。
• Table of Integrals, Series, and Products（Gradshteyn & Ryzhik）：包含涉及第三类椭圆积分的积分恒等式与化简结果。